Пирамида Хеопса и постоянная тонкой структуры 5
Материал из Cheops.The encyclopedia.
Содержание |
Движение в центрально-симметричном гравитационном поле
Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц.Теория поля.1983
Рассмотрим движение частицы в центрально-симметричном гравитационном поле. Как и во всяком центральном поле, движение будет происходить в одной "плоскости", проходящей через центр поля; выберем эту плоскость в качестве плоскости θ = π/2.
Для определения траектории частицы воспользуемся уравнением Гамильтона-Якоби
gik(∂S/∂xi)(∂S/∂xk) - mc2 = 0,
где m - масса частицы (массу же центрального тела обозначим здесь как m'), c - скорость света. С метрическим тензором
ds2 = (1 - rg/r)c2dt2 - r2(sin2θ dφ2 + dθ2) - dr2/(1 - rg/r)
это уравнение принимает вид
(1 - rg/r)−1(∂S/c∂t)2 - (1 - rg/r)(∂S/∂r)2 - 1/r2(∂S/∂φ)2 - m2c2 = 0,
где rg = 2m'γ/c2 - гравитационный радиус центрального тела (Солнца).
По общим правилам решения уравнения Гамильтона-Якоби ищем S в виде
S = - E0t + Mφ + Sr(r)
с постоянной энергией E0 и моментом импульса M. Подставив S = - E0t + Mφ + Sr(r) в (1 - rg/r)−1(∂S/c∂t)2 - (1 - rg/r)(∂S/∂r)2 - 1/r2(∂S/∂φ)2 - m2c2 = 0, найдем производную dSr/dr и затем:
Sr = ∫[E02/c2(1 - rg/r)−2 - (m2c2 + M2/r2)(1 - rg/r)−1]1/2 dr.
Зависимость r = r(t) дается уравнением ∂S/∂E0 = const, откуда
ct = E0/mc2 ∫dr /(1 - rg/r)[(E0/mc2)2 - (1 + M2/m2c2r2)(1 - rg/r)]1/2.
Траектория же определяется уравнением ∂S/∂M = const, откуда
φ = ∫ M/r2 [E02/c2 - (m2c2 + M2/r2)(1 - rg/r)]−1/2 dr.
Этот интеграл приводится к эллиптическому.
Для движения планет в поле тяготения Солнца релятивистская теория приводит лишь к незначительным поправкам по сравнению с теорией Ньютона, поскольку скорости планет очень малы по сравнению со скоростью света. В уравнении траектории φ = ∫ M/r2 [E02/c2 - (m2c2 + M2/r2)(1 - rg/r)]−1/2 dr этому соответствует малость отношения rg/r (для Солнца rg/r = 3 км; для Земли rg/r = 0,9 см).
Для вычисления релитивистских поправок к траектории удобно исходить из выражения φ = ∫ M/r2 [E02/c2 - (m2c2 + M2/r2)(1 - rg/r)]−1/2 dr. радиальной части действия до его дифференцирования по M. Заменим переменную интегрирования согласно r(r - rg) = r'2, т.е. r - rg/2 ≈ r', в результате чего член с M2 под корнем примет вид M2/r'2. В остальных же членах производим разложение по степеням rg/r' и получаем с требуемой точностью:
Sr = ∫ [(2E'm + E'2/c2) + 1/r(2m2m'γ + 4E'mrg) - 1/r2(M2 - 3m2c2rg2/2)]1/2 dr,
где мы для краткости опустили штрих у r' и ввели нерелятивистскую энергию E' (без энергии покоя).
Поправочные члены в коэффициентах в первых двух членах под корнем отражаются только на не представляющем особого интереса изменении связи между энергией и моментом частицы и параметрами ее ньютоновской орбиты (эллипса). Изменение же коэффициента при 1/r2 приводит к более существенному эффекту - к систематическому (вековому) смещению перигелия орбиты.
Поскольку траектория определяется уравнением φ + ∂Sr/∂M = const, то изменение угла φ за время одного оборота планеты по орбите есть
Δφ = - (∂/∂M) ΔSr,
где ΔSr - соответствующее изменение Sr. Разлагая Sr по степеням малой поправки в коэффициент при 1/r2, получим:
ΔSr = ΔSr(0) - (3m2c2rg2/4M) (∂ΔSr(0)/∂M),
где ΔSr(0) соответствует движению по несмещающемуся замкнутому эллипсу. Дифференцируя это соотношение по M и учитывая, что
- ∂ΔSr(0)/∂M = Δφ(0) = 2π ,
найдем
Δφ = 2π + (3πm2c2rg2/2M2) = 2π + (6πγ2m2m'2/c2M2).
Второй член и представляет собой искомое угловое перемещение δφ ньютоновского эллипса за время одного оборота, т.е. смещение перигелия орбиты. Выражая его через длину большой полуоси a и эксцентриситет e с помощью известной формулы M2/γm'm2 = a(1 - e2), получим:
δφ = 6πγm'/c2a(1 - e2) = 6πγMc/c2a(1 - e2) при m' = Mc.
Численные значения смещения, определяемого этой формулой, для Меркурия и Земли равны соответственно 43,0" и 3,8" в сто лет.
От автора:
- для читателей с недостаточной математической подготовкой принять во внимание только выведенную формулу для смещения перигелия орбиты планеты;
- следует заметить, что δφ существует и тогда, когда e = 0, т.е. для круговой орбиты.
Смещение перигелия - номер планеты
Для определения номеров планет Венеры и Земли, включая остальные известные и неизвестные планеты, введем понятие - предельная гравитационная орбита планеты.
Чем ближе планета к Солнцу, тем больше ее орбитальная скорость и при этом остается справедливым второй закон Кеплера. Рассмотрим орбиты планет, которые появляются при v→c, где v - орбитальная скорость, c - скорость света. Вернемся снова к квантованию Солнечной системы:
vnrn = 2 n h',
где vn - орбитальная скорость n-ой планеты, rn - среднее расстояние n-ой планеты от Солнца, n = 0,1,2,... - номер гравитационной орбиты планеты (главное квантовое число для гравитационного поля), h' = 1,3859×1015 м2/с - гравитационная солнечная постоянная.
Для гравитационных орбит планет дополнительно получаем:
См. также
Ссылки
Более хорошее математическое внешнее оформление на http://ru.science.wikia.com
Литература
- Физический энциклопедический словарь.М."Советская энциклопедия".1983
- Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика//Теория поля.Т.II.М."Наука".1988
- В.Б.Берестецкий, Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский. Теоретическая физика//Квантовая электродинамика.Т.IV.М."Наука".1989
- Ю.А.Храмов. Физики//Биографический справочник.М."Наука".1983
- О.П.Спиридонов. Универсальные физические постоянные.М."Просвещение".1984
- Л.Р.Стоцкий. Физические величины и их единицы.М."Просвещение".1984
- Дж.Нарликар. Гравитация без формул/перев. с англ./.М."Мир".1985
- В.Л.Гинзбург. О физике и астрофизике.М."Наука".1985
- В.Чолаков. Нобелевские премии//Ученые и открытия/перев. с болг./.М."Мир".1987
- В.П.Цесевич. Что и как наблюдать на небе.М."Наука".1984
- И.С.Шкловский. Вселенная.Жизнь.Разум.М."Наука".1987
- Б.А.Воронцов-Вельяминов. Очерки о Вселенной.М."Наука".1980
- Я.Б.Зельдович, И.М.Яглом. Высшая математика//Для начинающих физиков и техников.М."Наука".1982
- Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике//Для научных работников и инженеров/перев. с амер./.М."Наука".1984